Question

如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延長線于F．
（1）求證：BE=CF；
（2）如果AB=6，AC=4，求AE，BE的長．

Answer 1

分析：（1）連接DB、DC，先由角平分線的性質(zhì)就可以得出DE=DF，再證明△DBE≌△DCF就可以得出結(jié)論；
（2）由條件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，進而就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）連接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中

DB=DC DE=DF

，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF．

（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中

AD=AD DE=DF

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB-BE，
∴AC+CF=AB-BE
∵AB=6，AC=4，
∴4+BE=6-BE，
∴BE=1，
∴AE=6-1=5．
答：AE=5，BE=1．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，中垂線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．