Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E，連接AE．

（1）若D為AC的中點，連接DE，證明：DE是⊙O的切線；

（2）若BE=3EC，求tan∠ABC．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）要證明DE是⊙O的切線，只要證明等于90°即可，由題可得 =90°，從題上條件可得, ,所以可以得出=90°，從而得出要求證結論。（2）BE=3EC，要想利用這個條件，可放在ECA和EAB中，證明ECAEAB，即可得到對應邊成比例，進而得到AE、EC、EB三者之間的關系，再利用BE=3EC，求得tan∠ABC。

試題解析：證明：（1）連接OE，

∵AB是⊙O的直徑，AC是圓⊙O的切線，

∴AE⊥BC，AC⊥AB，

在直角△AEC中，

∵D為AC的中點，

∴DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

∵∠OEB=∠OBE，∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠DEC+∠OEB=∠DCE+∠OBE=90°，

∴∠DEO=180°﹣90°=90°，∴OE⊥DE，

∴DE 是⊙O的切線；

（2）在直角△EAC與直角△EBA中，

∵∠EAC+∠EAB=90°，∠EBA+∠EAB=90°，

∴∠EAC=∠EBA，

∴△EAC∽△EBA，

∴，EA2=EBEC

設EC=1，則EB=3，

EA2=EBEC=3， ，

在直角△AEB中， ．