Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為以AQ為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在AC段的拋物線上有一點(diǎn)R到直線AC的距離最大，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）C（0，﹣4）;（2）E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），或（7，0）或（﹣，0）;(3) R（，﹣5）

【解析】

（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo)．

（2）等腰三角形有兩種情況，AQ=EQ，AE=AQ．易得E坐標(biāo)．

（3）求出AC解析式，設(shè)R的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)R到直線AC的距離，根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法，可求R點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴

解得：

∴解析式：y=x2﹣x﹣4

∴C（0，﹣4）

（2）作QD⊥OA于D如圖1

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5

∵若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)

∴AQ=AB=4

∵QD⊥AB，OC⊥AB

∴QD∥OC

∴

∴

∴QD=，AD=

∵以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為以AQ為腰的等腰三角形

若當(dāng)AQ=AE=4時(shí)，且A（3，0）

∴E（﹣1，0），或E（7，0）

若當(dāng)EQ=AQ時(shí)，且QD⊥AB

∴DE=AD=

∴E（﹣，0）

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），或（7，0）或（﹣，0）

（3）設(shè)AC解析式：y=kx+b

∴

解得：

∴AC解析式：y=x﹣4

設(shè)R（x，x2﹣x﹣4），R到直線AC的距離為w

∴w=x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣）2+3

∴當(dāng)x=時(shí)，w最大為3．

∴R（，﹣5）