Question

【題目】如圖1，兩塊直角三角紙板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如圖所示的方式擺放（重合點為B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．將△BDE繞著點B順時針旋轉．

（1）當點D在BC上時，求CD的長；

（2）當△BDE旋轉到A，D，E三點共線時，畫出相應的草圖并求△CDE的面積

（3）如圖2，連接CD，點G是CD的中點，連接AG，求AG的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）2﹣2；（2）1；（3）AG的最小值為﹣1，AG的最大值為+1

【解析】

（1）如圖1中，根據CD＝BC﹣BD，只要求出BC即可解決問題；

（2）分兩種情形分別求解，由三角形的面積公式可解決問題；

（3）如圖4中，取BC的中點H，連接GH．由CG＝GD，CH＝HB，推出HG＝BD＝1，可得點G的運動軌跡是以H為圓心1為半徑的圓，根據點與圓的位置關系即可解決問題；

解：（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，

∴BC＝AC÷tan30°＝2，

∵BD＝2，

∴CD＝BC﹣BD＝2﹣2．

（2）如圖2中，當A、D、E共線時，易證四邊形ACBD是矩形，

∴S△CDE＝×DE×CA＝×2×2＝2．

如圖3中，當A、E、D共線時，作CH⊥AD于H．

在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，

∴∠BAD＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠CAH＝30°，

∴CH＝AC＝1，

∴S△CDE＝×DE×CH＝×2×1＝1．

（3）如圖4中，取BC的中點H，連接GH．

∵CG＝GD，CH＝HB，

∴HG＝BD＝1，

∴點G的運動軌跡是以H為圓心1為半徑的圓，

在Rt△ACH中，AH＝＝＝，

∴AG的最小值＝AH﹣GH＝﹣1，

AG的最大值＝AH+GH＝+1