Question

如圖所示，過半徑為6cm的⊙O外一點P引圓的切線PA，PB，連接PO交⊙O于F，過F作⊙O的切線，交PA，PB分別于D，E，如果PO=10cm，∠APB=40°．
求：（1）△PED的周長；（2）∠DOE的度數．

Answer 1

解：如右圖所示

（1）連接AO，則OA⊥PA，PA==8，
∵PA，PB為切線，A，B為切點，EF，EB，DF，DA均與⊙O相切，
∴PA=PB，DA=DF，FE=BE，
∴△PED的周長=PE+EF+FD+PD=PA+PB=2PA=16（cm），
即△PED的周長為16cm；

（2）由切線長性質知：∠AOD=∠DOF，∠EOF=∠EOB，
∴∠DOE=∠AOB=（180°-∠APB）=（180°-40°）=70°．
分析：（1）根據切線長定理，判斷出DF=DA，EF=EB，△PED的周長轉化為PA+PB，只要求出切線AP的長即可；
（2）根據切線長定理解出∠DOE=∠AOB，再根據四邊形的內角和是360度解答．
點評：此題比較復雜，結合了切線長定理，角平分線的性質，要反復運用切線長定理，將問題轉化為勾股定理和角平分線的性質解答．