Question

（2007•宿遷）如圖，圓在正方形的內部沿著正方形的四條邊運動一周，并且始終保持與正方形的邊相切．
（1）在圖中，把圓運動一周覆蓋正方形的區域用陰影表示出來；
（2）當圓的直徑等于正方形的邊長一半時，該圓運動一周覆蓋正方形的區域的面積是否最大？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要先求出覆蓋面積與圓的半徑的函數關系式，圓在正方形中運動時覆蓋的部分如圖所示，中間正方形的面積易求得，而大正方形四角的面積可用以圓的直徑為邊長的小正方形的面積-一個圓的面積來求得．
（2）設出正方形的邊長和圓的半徑，根據上面得出面積求法可得出關于覆蓋部分面積和圓半徑的函數關系式，根據函數的性質即可判斷出當圓的直徑等于正方形的邊長一半時，該圓運動一周覆蓋正方形的區域的面積是否最大．
解答：解：（1）圓運動一周覆蓋正方形的區域用陰影表示如下：

（2）圓的直徑等于正方形的邊長一半時，覆蓋區域的面積不是最大，理由如下：
設正方形的邊長為a，圓的半徑為r，覆蓋區域的面積為s．
∵圓在正方形的內部，
∴0＜r≤，
由圖可知：S=a²-[（a-4r）²+4r²-πr²]，
=-（20-π）r²+8ar，
=-（20-π）（r-）²+，
∵0＜＜，
∴當r=時，S有最大值，
∵≠，
∴圓的直徑等于正方形的邊長一半時，面積不是最大．
點評：本題主要考查了正方形和圓的性質、二次函數的應用、圖形面積的求法等知識．