Question

由⊙O外一點F作⊙O的兩條切線，切點為B，D，AB是⊙O的直徑，連接AD，BD，OF交⊙O于E，交BD于C，連接DE，BE，下列四個結論：（1）BE=DE；（2）∠FDE=∠EDB；（3）DE∥BE；（4）BD²=2AD•FC．其中正確的結論有______．（把你認為正確結論的序號全部填上）

Answer 1

解：由切線長定理知，DF=FB，∠DFO=∠OFB
∴△EFD≌△EFB，△CFD≌△CFB
∴DE=BE（故①正確），CD=CB，∠FCD=∠FCB
∵∠FCD+∠FCB=180°
∴∠FCD=∠FCB=90°
∵FB是切線，則∠FBO=90°
∴∠CBO=∠OFB
∴△OCB∽△OBF
∴BC：CF=OC：BC，即BC²=（）²=CF•CO
∴BD²=4CO•FC
∵AB是直徑
∴∠ADB=90°
∴OC∥AD
∵點O是AB的中點
∴OC是△ADB的中位線，則有AD=2CO
∴BD²=2AD•FC，（故④正確）
∵DE=BE
∴∠EDC=∠EBC
∵∠FDE是弦切角
∴∠FDE=∠EBD
∴∠FDE=∠EDB，（故②正確）
由于DE與BE相交，故③不正確．
因此正確的結論有（1）（2）（4）．
分析：（1）根據切線長定理，知：FD=FB，∠DFO=∠BFO；易證得△FDE≌△DEB，因此DE=BE，弧DE=弧BE；因此（1）正確；
（2）由于弦切角∠FDE和圓周角∠EDB所對的弧是等弧，因此兩角相等，故（2）正確；
（3）很顯然DE、BE相交，因此它們不可能平行，故（3）錯誤；
（4）在Rt△FBO中，根據射影定理，可求得BC²=OC•FC，即BD²=4CO•CF；易證得OC是△ABD的中位線，則AD=2OC；聯立兩式可求得BD²=2AD•FC，故（4）正確．
點評：本題考查了切線長定理、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、弦切角定理等知識，綜合性強，難度較大．