Question

（1）觀察一列數a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是

3

；根據此規律，如果a_n（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么a₆=

3⁶

，a_n=

3ⁿ

；（可用冪的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2⁹的值，可令S₁₀=1+2+2²+2³+…+2⁹①將①式兩邊同乘以2，得

2S₁₀=2+2²+2³+…+2⁹+2¹⁰

②，由②減去①式，得S₁₀=

2¹⁰-1

．
（3）若（1）中數列共有30項，設S₃₀=3+9+27+81+…+a₃₀，請利用上述規律和方法計算S₃₀的值．
（4）設一列數1，2，4，8，…，2^n-1的和為S_n，則S_n的值為

2ⁿ-1

．

Answer 1

分析：（1）觀察不難發現，后一個數是前一個數的3倍，然后解答即可；
（2）根據運算過程計算即可得解；
（3）根據（2）的方法，等式兩邊都乘以3，然后相減進行計算即可得解；
（4）把所列等式兩邊都乘以2，然后相減即可得解．

解答：解：（1）∵9÷3=3，27÷9=3，81÷27=3，
∴這個常數是3，
∵a₁=3=3¹，a₂=9=3²，a₃=27=3³，a₄=81=3⁴，…，
∴a₆=3⁶，a_n=3ⁿ；

（2）∵S₁₀=1+2+2²+2³+…+2⁹，①
∴①式兩邊同乘以2得，2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰，②
②-①得，S₁₀=2¹⁰-1；

（3）∵S₃₀=3+9+27+81+…+3³⁰，①
∴3S₃₀=9+27+81+…+3³¹，②
②-①得，2S₃₀=3³¹-3，
∴S₃₀=

1

2

（3³¹-3）=

331-3

2

；

（4）∵S_n=1+2+4+8+…+2^n-1的和為S_n，
∴2S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ，
∴S_n=2S_n-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-（1+2+4+8+…+2^n-1）
=2ⁿ-1，
故答案為：（1）3，3⁶，3ⁿ；（2）2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹，2¹¹-1；（4）2ⁿ-1．

點評：此題主要考查了數字變化規律，讀懂題目信息并理解數列和的求解求解思路是解題的關鍵．