Question

（1）觀察一列數a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，發現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是______；根據此規律，如果a_n（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么a₆=______，a_n=______；（可用冪的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值，可令S10=1+2+22+23+…+210①將①式兩邊同乘以2，得______②，由②減去①式，得S₁₀=______．
（3）若（1）中數列共有20項，設S₂₀=3+9+27+81+…+a₂₀，請利用上述規律和方法計算S₂₀的值．
（4）設一列數1，

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n-1

的和為S_n，則S_n的值為______．

Answer 1

（1）∵9÷3=3，27÷9=3，81÷27=3，
∴這個常數是3，
∵a₁=3=3¹，a₂=9=3²，a₃=27=3³，a₄=81=3⁴，…，
∴a₆=3⁶，a_n=3ⁿ；

（2）∵S₁₀=1+2+2²+2³+…+2¹⁰，①
∴①式兩邊同乘以2得，2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹，②
②-①得，S₁₀=2¹¹-1；

（3）∵S₂₀=3+9+27+81+…+3²⁰，①
∴3S₂₀=9+27+81+…+3²¹，②
②-①得，2S₂₀=3²¹-3，
∴S₂₀=

1

2

（3²¹-3）；

（4）∵S_n=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

，①
∴

1

2

S_n=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

，②
①-②得，

1

2

S_n=1-

1

2n

，
∴S_n=2-

1

2n-1

．
故答案為：（1）3，3⁶，3ⁿ；（2）2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹，2¹¹-1；（4）2-

1

2n-1

．