Question

7．2015年1-11月綿陽實現對外貿易進出口總值150.4億元人民幣，某新磁公司倉庫現有1000噸磁性材料要全部運往A、B兩廠，通過了解獲得A、B兩廠的有關信息如下表（表中運費欄“元/t•km”表示：每噸磁性材料運送一千米所需的費用）：

廠別	運費（元/t•km）	路程（km）	需求量（t）
A	0.45	200	不超過650
B	a（a為常數）	150	不超過900

（1）寫出總運費y（元）與運往A廠的磁性材料量x（t）之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）請你運用函數有關知識，為該新磁公司設計總運費最少的運送方案，并求出最少的總運費（可用含a的代數式表示）

Answer 1

分析 （1）根據總費用=運往A廠的費用+運往B廠的費用，經化簡后可得出y與x的函數關系式；
（2）根據圖表中給出的判定噸數的條件，算出自變量的取值范圍，然后根據函數的性質來算出所求的方案．

解答 解：（1）若運往A廠x噸，則運往B廠為（1000-x）噸．
依題意得：y=200×0.45x+150×a×（1000-x）
=90x-150ax+150000a
=（90-150a）x+150000a，
依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x≤650}\\{1000-x≤900}\end{array}\right.$
解得：100≤x≤650．
故函數關系式為y=（90-150a）x+150000a，（100≤x≤650）．
（2）當0＜a＜0.6時，90-150a＞0，
∴當x=100時，y_最小=（90-150a）×100+150000a=135000a+9000．
此時，1000-x=1000-100=900．
當a＞0.6時，90-150a＜0，又因為運往A廠總噸數不超過600噸，
∴當x=650時，y_最小=（90-150a）×650+150000a=52500a+58500．
此時，1000-x=1000-650=350．
當a=0.6時，y=90000，
答：當0＜a＜0.6時，運往A廠100噸，B廠900噸時，總運費最低，最低運費（135000a+9000）元．
當a＞0.6時，運往A廠650噸，B廠350噸時，總運費最低，最低運費（52500a+58500）元．
當a=0.6時，運費90000元．

點評 本題考查了利用一次函數的有關知識解答實際應用題，一次函數是常用的解答實際問題的數學模型，是中考的常見題型，同學們應重點掌握．