Question

如圖，在直角坐標系中，直線y=2x+4與x軸交于B點，與y軸交于C點，⊙O₁與x軸交于原點O和點A，又點O₁（2，0），E （0，b）且0＜b＜4，如圖所示．
（1）求點A、B、C三點的坐標和O₁B的長；
（2）點E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O₁有哪幾種位置關系，并求出每種位置時b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由直線y=2x+4與x軸交于B點，與y軸交于C點，可求B、C兩點坐標，⊙O₁與x軸交于原點O和點A，已知點O₁（2，0），可求A點坐標及O₁B的長；
（2）點E在線段OC上移動時，0＜b＜4；先求出直線BE與⊙O₁相切時b的值，再分別求出直線BE與⊙O′相交、相切、相離時，b的取值范圍．

解答：解：（1）由直線y=2x+4，令y=0得x=-2，令x=0得y=4，故B（-2，0）、C（0，4），
由⊙O₁與x軸交于原點O和點A，已知點O₁（2，0），故OA=4，
∴A（4，0），O₁B=2+2=4；

（2）當點E在OC上移動時，直線BE與⊙O′有三種位置關系：相交、相切、相離．
若BE與⊙O₁相切時，設切點為F，連接O₁F．則O₁F⊥BE，
于是在Rt△BFO₁中，O₁B=4，O₁F=2，所以∠FBO₁=30°；
在Rt△BOE中，BO=2；
OE=2BE，所以OE=

2

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；
故當0＜b＜

2

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時，直線BE與⊙O₁相交；
當b=

2

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時，直線BE與⊙O₁相切；
當

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＜b＜4時，直線BE與⊙O₁相離．

點評：本題考查了已知直線與坐標軸的交點坐標的求法，坐標系中直線與圓的三種位置關系所對應的直線與y軸交點縱坐標的關系．