Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，線段AF和⊙O切于點A，D是AF的中點，BF交⊙O于點E，過B點的切線與DE的延長線交于點C．
（1）求證：CD與⊙O相切．
（2）若tan∠BEC=2，BE+CD=8+5，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AE、OE、OD，可證△ADO≌△EDO，繼而可得∠DEO=90°，這樣可證得CD與⊙O相切．
（2）設AE=x，則BE=2x，根據切線的性質，勾股定理和三角形的相似，表示出有關線段的長度，然后利用BE+CD=8+5解出x，繼而求四邊形ABCD的周長．
解答：解：
連接AE、OE、OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，則∠AEF=90°，
在Rt△AEF中，
∵D是AF的中點，
∴DE=FD=AD，
在△ADO與△EDO中，，
∴△ADO≌△EDO，
∵線段AF和⊙O切于點A，
∴∠DAO=∠DEO=90°，
∴CD與⊙O相切．
（2）
連接OC交EB于點H，
∵CE、CB為⊙O的切線，
∴OC⊥EB，
易得△BOC∽△HBC，
∴∠COB=∠CBE，
∵CE、CB是⊙O的切線，
∴∠CEB=∠EAB=∠CBE，
∵tan∠BEC=2，設AE=x，則BE=2x，
∴AB==x，OB=x，
∵∠COB=∠CBE=∠CEB，
∴CB=x=CE，
在Rt△FAB中，AB=x，AF=x，
則AD=x=DE，
∴CD=CE+ED=x，
∵BE+CD=8+5，
代入可得2x+x=8+5，
解得x=4，
∴四邊形ABCD的周長=AD+DC+BC+AB=2DC+AB=2×4×+×4=14．
點評：本題屬于圓的綜合題，涉及了切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質及勾股定理的應用，解答本題的關鍵是熟練掌握各知識點，要求同學們仔細思考，將所學知識融會貫通．