Question

如圖1，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，10），點B的坐標為（10，0），⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動，Q從OB的中點C開始在線段CO上以1單位/秒的速度移動，當其中一個點到達原點O時，另一點也隨即停止運動．圓心移動時，圓也跟著移動．設點P和點Q運動的時間為t（秒）．如圖2，當時，設四邊形APQB的面積為s．
（1）求s與t的函數關系式；
（2）如圖3，當⊙P和⊙Q外切時，求s的值；
（3）在運動的過程中，是否存在某一時刻，⊙P和⊙Q內切，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于S_{四邊形APQB}=S_△OAB-S_△OPQ=OA•OB-OP•OQ，故用含t的代數式分別表示OP、OQ而求解；
（2）由勾股定理建立關于t的方程，求得t后，再求S；
（3）構造一個直角三角形，結合兩圓內切的圓心距等于兩圓半徑之差和勾股定理，進行計算．
解答：解：（1）依題意，得AP=3t，CQ=t．
∵點A的坐標為（0，10），點B的坐標為（10，0），OB的中點C，
∴OP=OA-AP=10-3t，
OQ=OC-CQ=OB-CQ
=×10-t
=5-t，
∴S_{四邊形APQB}=S_△OAB-S_△OPQ
=OA•OB-OP•OQ
=×10×10-（10-3t）（5-t），
∴S_{四邊形APQB}=．

（2）當⊙P和⊙Q外切時，PQ=4+1=5．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=25，
∴t=2或t=5（舍去），
當t=2時，
s=
=44，
當⊙P和⊙Q外切時，s=44．

（3）在運動的過程中，存在某一時刻，⊙P和⊙Q內切．
當⊙P和⊙Q內切時，PQ=4-1=3．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=9，
解得t=，
∴點P的坐標為（0，）．
點評：本題難度較大，主要利用了數形結合的思想、勾股定理、兩圓的位置關系、一元二次方程的解法等知識點求解，對各知識點要靈活應用．