Question

如圖，在一筆直的海岸線l上有AB兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）．有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．
（1）求點P到海岸線l的距離；
（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點C與點B之間的距離．（上述兩小題的結果都保留根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）過點P作PD⊥AB于點D，設PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代數式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代數式表示AD，然后根據BD+AD=AB，列出關于x的方程，解方程即可；
（2）過點B作BF⊥AC于點F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=1km，再解Rt△BCF，得出BC=BF=km．
解答：解：（1）如圖，過點P作PD⊥AB于點D．設PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD=PD=xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+x=2，
x=-1，
∴點P到海岸線l的距離為（-1）km；

（2）如圖，過點B作BF⊥AC于點F．
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC=BF=km，
∴點C與點B之間的距離為km．
點評：本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，難度適中．通過作輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．