Question

（2003•泰安）（1）用計算器探索：
①=
②=
③=
由此猜想：=______．
（2）已知關于x的方程x²-2ax+a²-2a+2=0的兩個實數根x₁、x₂滿足x₁²+x₂²=2，則a的值為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據①②③找出規律；求出的值；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系，以及x₁²+x₂²=2即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，求出a的值；
解答：解：（1）由①可得=22；
②=333；
③=4444；
故猜想：=7777777．

（2）∵x₁、x₂是關于x的方程x²-2ax+a²-2a+2=0的兩個實數根，∴x₁+x₂=2a，x₁x₂=a²-2a+2，
又∵x₁²+x₂²=2，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，即4a²-2（a²-2a+2）=2，整理得（2a-2）（a+3）=0，即a=1或a=-3．
把a=1代入原方程得x²-2x+1²-2+2=0，△=（-2）²-4（1²-2+2）=0，方程有兩個相等的實數根；
把a=-3代入原方程得x²-2×（-3）x+（-3）²-2（-3）+2=0，即x²+6x+17=0，△=（6）²-4×17=-32＜0，與已知相矛盾，故a的值為1．
點評：（1）屬于規律性題目，主要是根據已知中所給的式子找出規律，求解；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系，求出a的值，解答此類題目時要注意驗根，否則會造成誤解．