Question

如圖，已知一拋物線過坐標原點O和點A（1，h）、B（4，0），C為拋物線對稱軸上一點，且OA⊥AB，∠COB=45°．
（1）求h的值；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若P為線段OB上一個動點（與端點不重合），過點P作PM⊥AB于M，PN⊥OC于N，試求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OA⊥AB，∠COB=45°可知A（1，h），在Rt△OAB中，由勾股定理得到h；
（2）拋物線與x軸的交點為坐標原點O和B（4，0），故可設此拋物線的解析式為y=ax（x-4），又拋物線過點，解得a；
（3）首先證明∠ONP=∠OCB、和∠PON=∠BOC，進而證明△PON∽△BOC，得到和，兩式相加得到所求的式的值．
解答：解：（1）∵OA⊥AB，A（1，h），在Rt△OAB中，由勾股定理得：（1²+h²）+（3²+h²）=4²，
即h²=3
∵h＜0
h=-3

（2）∵拋物線與x軸的交點為坐標原點O和B（4，0），
故可設此拋物線的解析式為y=ax（x-4），
又拋物線過點，
∴，
∴
故此拋物線的解析式為，

（3）∵拋物線對稱軸垂直平分OB，而C是其上一點，
∴CO=CB，
∴∠COB=∠CBO=45°，
故∠OCB=180°-∠COB-∠CBO=90°．
∵PN⊥OC，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONP=∠OCB，
又∠PON=∠BOC，
∴△PON∽△BOC，
∴，
同理可證
∴．
點評：本題主要考查二次函數的應用，求二次函數的解析式等知識點．