Question

如圖，大海中有A和B兩個島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線PQ上點E處測得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在點F處測得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km。

（1）判斷AB、AE的數量關系，并說明理由；
（2）求兩個島嶼A和B之間的距離（結果精確到0.1km）。（參考數據：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3. 49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

Answer 1

（1）相等；（2）3.6 km

試題分析：（1）先根據題意證得EF＝BF，再根據SAS即可證明△AEF≌△ABF，從而求得結果；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數表示出HE與HF，從而可得到關于x的方程，解方程即可得解．
（1）相等
∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，
∴∠EBF＝30°，
∴EF＝BF．
又∵∠AFP＝60°，
∴∠BFA＝60°．
在△AEF與△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，
∴△AEF≌△ABF，
∴AB＝AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H

設AE＝x，則AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．
Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°
∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，
即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，
∴x≈3.6，即AB≈3.6km．
答：兩個島嶼A和B之間的距離為3.6km．
點評：解直角三角形的應用是初中數學的重點，是中考必考題，一般難度不大，需熟練掌握.