Question

（2002•陜西）如圖，已知點A（tanα，0），B（tanβ，0）在x軸正半軸上，點A在點B的左邊，α、β是以線段AB為斜邊、頂點C在x軸上方的Rt△ABC的兩個銳角．
（1）若二次函數y=-x²-kx+（2+2k-k²）的圖象經過A、B兩點，求它的解析式；
（2）點C在（1）中求出的二次函數的圖象上嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，由于∠α+∠β=90°，因此tanα•anβ=1，而A、B是拋物線與x軸的交點，根據韋達定理可得出tanα•tanβ=-（2+2k-k²）=1，據此可求出k的值，然后根據tanα+tanβ＞0，將不合題意的k值舍去，即可求出拋物線的解析式．
（2）本題的關鍵是求出C點坐標，根據（1）可求出tanα、tanβ的值，以及A、B的坐標，過C作CD⊥AB，可在直角三角形ACD中，用tanα和CD表示出AD，同理可表示出BD的長，根據A、B的坐標可得出AB的長，根據AD+BD=AB即可求出CD的長，進而可求出AD和OD的長，即可得出C點坐標，代入拋物線的解析式中進行判斷即可．
解答：解：（1）∵α、β是Rt△ABC的兩個銳角，
∴tanα•tanβ=1，tanα＞0，tanβ＞0，
由題意，知tanα，tanβ是方程-x²-kx+（2+2k-k²）=0的兩個根．
∴tanα•tanβ=-（2+2k-k²）=k²-2k-2=1，
∴k²-2k-2=1，
解得，k=3或k=-1；
而tanα+tanβ=-k＞0．
∴k＜0．
∴k=3（舍去），k=-1．
故所求的二次函數的解析式為y=-x²+x-1．

（2）不存在．
過C作CD⊥AB于D．
令y=0，得-x²+x-1=0．
解得x₁=，x₂=2．
∴A（，0），B（2，0），AB=
∴tanα=，tanβ=2．
設CD=m，則有CD=AD•tanα=AD，
∴AD=2CD．
又∵CD=BD•tanβ=2BD，
∴BD=CD，
∴2m+m=，
∴m=，
∴AD=．
∴C（，），
當x=時，y=≠．
∴點C不在（1）求出的二次函數的圖象上．
點評：本題以二次函數為背景，考查了三角函數、韋達定理等相關知識點．綜合性較強，難度適中．