Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+mx+n（m、n是常數）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，經過B、C兩點的直線的方程是y=x+2．
（1）求已知拋物線的解析式；
（2）將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△A′B′C′，求點C′的坐標；
（3）P是拋物線上的動點，當P在拋物線上從點B運動到點C，求P點縱坐標的取值范圍．
（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（其中a≠0）的頂點坐標為（-，））

Answer 1

解：（1）依題意B（-2，0）、C（0，2），
∵B、C在拋物線y=-x²+mx+n上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+2；

（2）∵拋物線y=-x²+mx+n（m、n是常數）與x軸交于A、B兩點，
∴y=-x²-x+2=0，
解得：x=1或x=-2，
∴A的坐標為（1，0），
∵將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△A′B′C′，
∴C′（3，1）；

（3）∵y=-x²-x+2=-（x+）²+，
∴此拋物線的頂點為：，
∵B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-＜0，
∴知動點P運動過程經過拋物線的頂點，
又y_B=0，y_C=2，y_B＜y_C，
∴P點縱坐標的取值范圍：0≤y_p≤．
分析：（1）首先根據題意求得B與C的坐標，再利用待定系數法將點B與C的坐標代入拋物線的解析式即可求得m與n的值，則可求得此拋物線的解析式；
（2）由（1）即可求得點A的坐標，又由將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△A′B′C′，即可求得點C′的坐標；
（3）首先由拋物線的解析式求得頂點坐標，又由B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-＜0，即可知動點P運動過程經過拋物線的頂點，即可求得P點縱坐標的取值范圍．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數與x軸的交點問題，以及三角形的旋轉問題等知識．此題綜合性很強，注意數形結合與方程思想的應用．