Question

【題目】如圖1，點在正方形的對角線上，正方形的邊長是，的兩條直角邊分別交邊于點．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定點，使繞點旋轉(zhuǎn)，當時，四邊形是正方形．

填空：①當時，四邊形的邊長是_____；

②當（是正實數(shù)）時，四邊形的面積是______；

（2）猜想論證：如圖3，將四邊形的形狀改變?yōu)榫匦危?/span>，，點在矩形的對角線，的兩條直角邊分別交邊于點，固定點，使繞點旋轉(zhuǎn)，則______；

（3）拓展探究：如圖4，當四邊形滿足條件：，，時，點在對角線上，分別交邊于點，固定點，使繞點旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄?/span>的值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3），理由見解析

【解析】

（1）①先判定△PMC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行求解；②先用①中的方法求得正方形PMCN的邊長；
（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進行推導(dǎo)計算即可；
（3）先過P作PG∥AB，作PH∥AD，并結(jié)合條件∠B+∠D=180°，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進行推導(dǎo)計算即可．

（1）①

，，，，，，，，即，，

∵四邊形是正方形，∴四邊形的邊長是．

②

當時，，，，∴四邊形的面積為．

（2）

如圖，

過點作于點，于點，則，，又，，，．由，，得，，，，即，．

（3）．理由如下：

如圖，過點作交于點，交于點，則，

，，

即，

，

，，

又，，

，．

由，，得，，

，

即，．