Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．已知∠AOB=110°．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△AOD是直角三角形；（3）當α的度數為125 °或110 °或140 °時，△AOD是等腰三角形；

【解析】

（1）首先由旋轉的定義和性質得到CO=CD，∠OCD=60°，然后根據等邊三角形的判定方法即可得到△COD是等邊三角形；（2）根據旋轉前后對應的兩個三角形全等可得△BOC≌△ADC，利用全等三角形的性質得到∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等邊三角形得∠ODC=60°，于是可計算出∠ADO的度數，據此判斷△AOD的形狀；（3）需要分三種情況討論，即①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，再分別建立關于α的方程，求出α的度數；

解：

（1）證明：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，

∴CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等邊三角形；

（2）當∠α=150°時，△AOD是直角三角形.理由如下：

∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，

∴△AOD是直角三角形；

（3）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，

∴190°-α=α-60°，

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，

∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α+α-60°)=50°，

∴α-60°=50°，

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，

∵∠AOD=190°-α，∠OAD==120°-，

∴190°-α=120°-，

解得α=140°．

綜上所述：當α的度數為125 °或110 °或140 °時，△AOD是等腰三角形．