Question

【題目】如圖，己知拋物線經(jīng)過點A(l, 0)，B(一3,0)，C(0,3)三點.

（1）求拋物線的解析式;

（2）在x軸下方的拋物線上，是否存在點M，使得？若存在求出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）點P是位于直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點P，使的面積最大?若存在，求出P的坐標(biāo)及的最大值:若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)

（2）M點的坐標(biāo)為：（-4，-5），（2，-5）.

（3）當(dāng)時， 最大，最大值為。

【解析】試題分析：（1）由拋物線經(jīng)過三點，可設(shè)拋物線的解析式為，將A、B、C三點帶入方程即可求得a、b、c的值；

（2）設(shè)存在點M(a，b)，由題意可知， 以AB=4為底，則高為OC=3，因此=10 ，又在中，以AB=4為底，則高為，所以=，因為M點在x軸的下方，故b<0,因此b=-5，又因為M在拋物線上，所以滿足拋物線方程。代入得： ，解得， ，即可得到M點的坐標(biāo)；

（3）連接PC、PB，過P作PR⊥x軸，交BC于點Q，可知當(dāng)PQ有最大值時， 有最大值，由待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，設(shè)出點P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出Q點坐標(biāo)，表示出 PQ的長度，求出最大值，即可解決問題.

試題分析：（1）設(shè)拋物線方程為，

將A(l，0)，B(-3，0)，C(0，3)帶入方程得： ，

解得，所以拋物線的解析式為： ；

（2）設(shè)存在點M(a，b)，由題意可知， =×4×3=6，

∴=， =5，

因為M點在x軸的下方，故b<0,因此b=-5，

又因為M在拋物線上，所以滿足拋物線方程，

代入得： ，解得， ，

所以M點的坐標(biāo)為：（-4，-5），（2，-5）.

（3）如圖：

連接PC、PB，過P作PR⊥x軸，交BC于點Q，

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+m，把B（-3，0），C（0，3）代入，

則，

解得： ，

則直線BC的解析式是y=x+3.

設(shè)點P的坐標(biāo)為（x， ），則Q坐標(biāo)為（x），

PQ==-(x+)2+，

當(dāng)x=-時，PQ有最大值，此時有最大值為： ××3=.