Question

如圖，AC是⊙O直徑，△ABC內接于⊙O，E是BC邊上一個動點（與B、C不重合），連結AE，并延長交⊙O于點D，連結CD．已知⊙O的半徑為1，∠BAC=60°．
（1）當E為BC的中點時，求的值；
（2）設CE為x，求的值（用含x的代數式表示）；
（3）能否找到一個點E，使得=8-2？如果能，求出點E的位置；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠BAC=60°，AC=1+1=2，
∴∠BCA=30°，
∴AB=1，由勾股定理得：BC=，
∵E為BC的中點，
∴CE=BE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴=，
∴CD==，
∴==．

（2）∵CE=x，
∴BE=-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴=，
∴CD=，
∴==．

（3）假設存在E點，使得=8-2，
則=8-2，
解得：x=4+2（大于直徑AC的長2，舍去），x=4-2，
即存在E點，使得=8-2，此時CE=4-2．
分析：（1）求出BC、BE、CE的長，根據勾股定理求出AE，證△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（2）求出BC、BE、CE的長，根據勾股定理求出AE，證△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（3）根據（2）的結果得出方程，求出發出的解即可．
點評：本題考查了圓周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．