Question

（2013•峨眉山市二模）如圖，AC是⊙O直徑，△ABC內接于⊙O，E是BC邊上一個動點（與B、C不重合），連結AE，并延長交⊙O于點D，連結CD．已知⊙O的半徑為1，∠BAC=60°．
（1）當E為BC的中點時，求

AE

CD

的值；
（2）設CE為x，求

AE

CD

的值（用含x的代數式表示）；
（3）能否找到一個點E，使得

AE

CD

=8-2

3

？如果能，求出點E的位置；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BC、BE、CE的長，根據勾股定理求出AE，證△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（2）求出BC、BE、CE的長，根據勾股定理求出AE，證△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（3）根據（2）的結果得出方程，求出發出的解即可．

解答：解：（1）∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠BAC=60°，AC=1+1=2，
∴∠BCA=30°，
∴AB=1，由勾股定理得：BC=

3

，
∵E為BC的中點，
∴CE=BE=

3

2

，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=

12+( 3 2 )2

=

7

2

，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴

AB

DC

=

AE

CE

，
∴CD=

1× 3 2

7 2

=

21

7

，
∴

AE

CD

=

7 2

21 7

=

7 3

6

．

（2）∵CE=x，
∴BE=

3

-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=

12+( 3 -x)2

，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴

AB

DC

=

AE

CE

，
∴CD=

x

12+( 3 -x)2

，
∴

AE

CD

=

12+( 3 -x)2

x 12+( 3 -x)2

=

4-2 3 x+x2

x

．

（3）假設存在E點，使得

AE

CD

=8-2

3

，
則

4-2 3 x+x2

x

=8-2

3

，
解得：x=4+2

3

（大于直徑AC的長2，舍去），x=4-2

3

，
即存在E點，使得

AE

CD

=8-2

3

，此時CE=4-2

3

．

點評：本題考查了圓周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．