Question

老師布置了一道思考題：如圖，點M，N分別在等邊△ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q，求證：∠BQM=60°．
（1）請你完成這道思考題的證明．
（2）做完（1）后，同學們進行了反思，提出了許多問題，如：若將題中的點M，N分別移到BC，CA的延長線，直線AM，BN交于點Q，是否仍能得到∠BQM=60°？請你作出判斷，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件得△ABM≌△BCN，得∠BAM=∠CBN，又因為∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°，所以∠QBA+∠BAM=60°，即有∠BQM=60°；
（2）和（1）同樣的求法可得△ABM≌△BCN，然后利用三角形外角的性質求∠BQM=60°．

解答：解：（1）在△ABM和△BCN中，

BM=CN ∠B=∠C AB=BC

，
∴△ABM≌△BCN（SAS）．
∴∠BAM=∠CBN（全等三角形對應角相等）．
∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°（已知），
∴∠QBA+∠BAM=60°（等量代換）．
∴∠BQM=60°；

（2）∵BM=CN（①的結論），
∴CM=AN（等量代換）．
∵AB=AC，∠ACM=∠BAN=180°-60°=120°（平角的性質），
在△BAN和△ACM中，

BA=AC  ∠BAN=∠ACM AN=CM

，
∴△BAN≌△ACM（SAS）．
∴∠NBA=∠MAC，
∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=180°-∠NCB-（∠CBN-∠NAQ）=180°-60°-60°=60°（三角形內角和定理）．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質；此題把全等三角形的判定和性質結合求解．有利于培養學生綜合運用數學知識的能力，全等三角形的證明是正確解答本題的關鍵．