Question

如圖所示，I為△ABC的內心，求證：△BIC的外心O與A、B、C四點共圓．

Answer 1

分析：如圖，連接OB、BI、OC，由O是外心知∠IOC=2∠IBC，由I是內心知∠ABC=2∠IBC，然后利用三角形的內角和定理即可證明∠BOC+∠A=180°，接著即可證明△BIC的外心O與A、B、C四點共圓．

解答：證明：連接OB、BI、OC，
由O是外心知∠IOC=2∠IBC．
由I是內心知∠ABC=2∠IBC．
從而∠IOC=∠ABC．
同理∠IOB=∠ACB．
而∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
故∠BOC+∠A=180°，
于是O、B、A、C 四點共圓．

點評：此題主要考查了四點共圓的問題，解題的關鍵是利用三角形的外心和內心得到角的關系，然后利用三角形的內角和解決問題．