Question

用長度為32m的金屬材料制成如圖所示的金屬框，下部為一個矩形，上部為一個等邊三角形．當下部的矩形面積最大時，求矩形的AB、BC的邊長各為多少m？并求此時整個金屬框的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）設AB=x，矩形ABCD的面積為y，根據面積計算公式得：y=x×（16-2x）y=-2x²+16x，根據x的取值即可求得y的最大值；
（2）作EH⊥CD，垂足為H，則可求△CDE的面積，計算矩形ABCD與△CDE的面積之和即可解題．

解答：解：（1）設AB=x，矩形ABCD的面積為y，則：BC=16-2x
得：y=x×（16-2x）y=-2x²+16x
當x=-

b

2a

=4時，矩形ABCD的面積有最大值
∴AB=4m，BC=8m
（2）作EH⊥CD，垂足為H

∵△CDE是等邊三角形
∴CH=DH=2
∴EH=

3

CH=2

3

∴S_△CDE=

1

2

×4×2

3

=4

3

又∵x=-

b

2a

=4時，y最大值=32
整個金屬框的面積=4

3

+32

點評：本題考查了一元二次方程極值的求值，考查了三角形面積的計算，考查了矩形面積的計算，本題中求得AB的值使得矩形面積最大是解題的關鍵．