Question

如圖，直線AB過點A（m，0）、B（0，n）（其中m＞0，n＞0）．反比例函數（p＞0）的圖象與直線AB交于C、D兩點，連接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面積為S，問：當n何值時，S取最大值？并求這個最大值；
（2）若m=8，n=6，當△AOC、△COD、△DOB的面積都相等時，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，進而可得S關于m、n的關系式，結合二次函數的性質計算可得答案；
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據題意，可得關于k、b的關系式，過點D、C分別作x軸的垂線，垂足分別點E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面積都相等，可得關系式，解可得答案．
解答：解：（1）根據題意，得：OA=m，OB=n，
所以S=mn，（1分）
又由m+n=10，得m=10-n，
得：S=n（10-n）=-n²+5n（2分）
=-（n-5）²+（3分）
∵-，∴當n=5時，S取最大值（4分）

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，
因為直線AB過點A（8，0），B（0，6）
所以，
解得：，b=6，
所以直線AB的函數關系式為（6分）
過點D、C分別作x軸的垂線，垂足分別點E、F，
當△AOC、△COD、△DOB的面積都相等時，
有S_△AOC=S_△AOB，即OA×CF=×OA×OB，
所以CF=2（8分）
即C點的縱坐標為2
將y=2代入，得（9分）
即點C的坐標為
因為點C在反比例函數圖象上
所以（10分）
點評：本題考查了反比例函數的圖象的性質以及其與直線的關系，利用形數結合解決此類問題，是非常有效的方法．