Question

（2009•同安區(qū)質檢）如圖，直線AB過點A（m，0）、B（0，n）（其中m＞0，n＞0）．反比例函數y=

m

x

的圖象與直線AB交于C、D兩點，連接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面積為S，問：當n何值時，S取最大值？并求這個最大值．
（2）當△AOC、△COD、△DOB的面積都相等時，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，進而可得S關于m、n的關系式，結合二次函數的性質計算可得答案；
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據題意，可得關于k、b的關系式，過點D、C分別作x軸的垂線，垂足分別點E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面積都相等，可得關系式，解可得答案．

解答：解：（1）根據題意，得：OA=m，OB=n，
所以S=

1

2

mn，
又由m+n=10，得m=10-n，
得：S=

1

2

n（10-n）=-

1

2

n²+5n，
=-

1

2

（n-5）²+

25

2

，
∵-

1

2

＜0，
∴當n=5時，S取最大值

25

2

．  

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，
根據題意，得：

mk+b=0 b=n

，
解得：k=-

n

m

，b=n，
所以直線AB的函數關系式為y=-

n

m

x+n．       
過點D、C分別作x軸的垂線，垂足分別點E、F，
當△AOC、△COD、△DOB的面積都相等時，
有S_△AOC=

1

3

S_△AOB，即

1

2

OA×CF=

1

3

×

1

2

OA×OB，
所以CF=

1

3

OB=

1

3

n．                           
即C點的縱坐標為

1

3

n．
將y=

1

3

n代入y=

m

x

，得x=

3m

n

．              
將x=

3m

n

、y=

1

3

n代入直線的函數關系式y=-

n

m

x+n，
得

1

3

n=-3+n，
所以n=

9

2

．

點評：本題考查了反比例函數的圖象的性質以及其與直線的關系，利用形數結合解決此類問題，是非常有效的方法．