Question

【題目】如圖，⊙O的內接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點I是△ABD的內心．求證：

（1）OI是△IBD的外接圓的切線；

（2）AB+AD＝2BD．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）根據三角形內心的性質和同弧上圓周角的性質，以及等角對等邊即可證得C是△IBD的外心，然后證得OI⊥CI，即可證得OI是△IBD的外接圓的切線；

（2）根據（1）可以得到AI=CD，AB=2BF，即可證得．

(1)∵∠CID=∠IAD+∠IDA，∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA

∴∠CID=∠CDI，

∴CI=CD．

同理，CI=CB．

故點C是△IBD的外心．

連接OA，OC，

∵I是AC的中點，且OA=OC，

∴OI⊥AC，即OI⊥CI．

∴OI是△IBD外接圓的切線．

(2)由(1)可得：

∵AC的中點I是△ABD的內心，

∴∠BAC=∠CAD

∴∠BDC=∠DAC=∠BAC，

又∵∠ACD=∠DCF，

∴△ADC∽△DFC，

∴，

∵AC=2CI

∴AC=2CD

∴AD=2DF

同理可得：AB=2BF

∴AB+AD=2BF+2DF=2BD．