Question

【題目】如圖，已知AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝2AD＝4，點M為邊BC的中點，點E、F在邊AB、CD上運動，點P在線段MC上運動，連接EF、EP、PF，則△EFP的周長最小值為_____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

作梯形ABCD關于AB的軸對稱圖形，將 QC'繞點C'逆時針旋轉60°，點Q的對應點為F'，連接F'M，交C' D'于點G，交AB與點E',延長QE'交CD于點F，，則有GE'=FE'，P與Q是關于AB的對稱點，當點F'、G、P三點在一條直線上時，△FEP的周長最小即為F'G+GE'+E'P，此時點P與點M重合，F'M為所求長度；過點F'作F'H⊥BC'，M是BC中點，則Q是BC'中點，由已知條件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=7，在Rt△MF'H中，F'M=2.

解：作梯形ABCD關于AB的軸對稱圖形，將 QC'繞點C'逆時針旋轉60°，點Q的對應點為F'，連接F'M，交C' D'于點G，交AB與點E',延長QE'交CD于點F，

則有GE'＝FE'，P與Q是關于AB的對稱點，

∴PF＝GQ，

又∵GF'＝GQ，

∴當點F'、G、P三點在一條直線上時，△FEP的周長最小即為F'G+GE'+E'P，

此時點P與點M重合，

∴F'M為所求長度；

過點F'作F'H⊥BC'，

∵M是BC中點，

∴Q是BC'中點，

∵∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝2AD＝4，

∴C'Q＝F'C'＝2，∠F'C'H＝60°，

∴F'H＝，HC'＝7，

在Rt△MF'H中，F'M＝2；

∴△FEP的周長最小值為2；

故答案為2；