Question

如圖，正三角形的邊長為．

（1）如圖①，正方形的頂點在邊上，頂點在邊上．在正三角形及其內部，以為位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；

（2）求（1）中作出的正方形的邊長；

（3）如圖②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在邊上，點分別在邊上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖①，正方形即為所求．

       （2）設正方形的邊長為．

        ∵△為正三角形，

        ∴．

        ∴．

        ∴，即．（沒有分母有理化也對，也正確）

       （3）如圖②，連接，則．

        設正方形、正方形的邊長分別為，

        它們的面積和為，則，．

        ∴．

        ∴．

        延長交于點，則．

        在中，．

        ∵，即．

        ∴ⅰ）當時，即時，最小．

        ∴．

        ⅱ）當最大時，最大．

        即當最大且最小時，最大．

        ∵，由（2）知，．

        ∴．

∴．