Question

某小區(qū)要在一塊矩形ABCD的空地上建造一個(gè)四邊形花園，要求：
①四邊形花園所占面積是矩形ABCD面積的一半；
②四邊形花園的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形ABCD的四條邊上（不能與矩形ABCD的頂點(diǎn)重合）．
請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種不同的方案（不全等的圖形設(shè)計(jì)算作不同的設(shè)計(jì)方案），并簡(jiǎn)要說明你的畫法．

Answer 1

解：（1）如圖，在AD上取一點(diǎn)H，使AH=HD，
在AB上取一點(diǎn)E，使AE=EB，
在BC上取一點(diǎn)F，使BF=FC，
在DC上取一點(diǎn)G，使DG=GC，
連接EH，HG，GF，F(xiàn)E，四邊形HGFE就是所求的四邊形花園所占面積是矩形ABCD面積的一半圖形．

（2）方案一：
作法：①在AD上截取AH=BF，連接HF，
②在AB上任取一點(diǎn)E
③連接HG，GF，EF，EH得到四邊形EFGH，
所以四邊形EFGH就是所要求作的四邊形．
理由：因?yàn)锳BCD是矩形，HF把矩形ABCD分成矩形ABFH與矩形DHFC，
則S_△FGH=S_矩形DHFC，S_△EHF=S_矩形ABHF，
∴S_{四邊形GHEF}=S_{四邊形ABCD}

方案二：
畫法：①在AD上截取DP=BM，連接MP，
②作MP的垂直平分線，得到MP的中點(diǎn)O，
③作∠PON=∠PMC交CD于點(diǎn)N，反向延長(zhǎng)ON，交AB于點(diǎn)Q，連接MN、MP、PQ、QM，得到四邊形MNPQ，
所以四邊形MNPQ就是所要求作的平行四邊形．
理由如下：∵∠PON=∠PMC，
∴QN∥BC，
∵點(diǎn)O是MP的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q、點(diǎn)N分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴OQ=（BM+AP）=AD，NO=（MC+DP）=BC，
∴OQ=NO，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
因?yàn)锳BCD是矩形，QN把矩形ABCD分成矩形AQND與矩形BCNQ，
則S_△PQM=S_矩形AQND，S_△EQMN=S_矩形BCNQ，
∴S_{四邊形MNPQ}=S_{四邊形ABCD}．
分析：（1）在四邊形ABCD上分別取各邊的中點(diǎn)，再連接起來，就是所要求的圖形；
（2）在AD上截取AH=BF，連接HF，則HF把矩形ABCD分成兩個(gè)矩形，在AB上任取一點(diǎn)E，順次連接E、F、G、H四點(diǎn)即可得到符合要求的四邊形；
在AD上截取DP=BM，連接MP，再作出MP的中點(diǎn)O，過O通過作角相等作ON∥BC交CD于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)Q，則順次連接M、N、P、Q即可得到符合要求的平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，主要利用矩形的面積等于以矩形的一邊為底邊，另一頂點(diǎn)在對(duì)邊上的三角形的面積等于矩形的面積的一半的性質(zhì)分別進(jìn)行作圖，是一道綜合題，作圖要細(xì)心．