Question

某小區要在一塊矩形ABCD的空地上建造一個四邊形花園，要求：
①四邊形花園所占面積是矩形ABCD面積的一半；
②四邊形花園的四個頂點都在矩形ABCD的四條邊上（不能與矩形ABCD的頂點重合）．
請你設計兩種不同的方案（不全等的圖形設計算作不同的設計方案），并簡要說明你的畫法．

Answer 1

【答案】分析：（1）在四邊形ABCD上分別取各邊的中點，再連接起來，就是所要求的圖形；
（2）在AD上截取AH=BF，連接HF，則HF把矩形ABCD分成兩個矩形，在AB上任取一點E，順次連接E、F、G、H四點即可得到符合要求的四邊形；
在AD上截取DP=BM，連接MP，再作出MP的中點O，過O通過作角相等作ON∥BC交CD于點N，交AB于點Q，則順次連接M、N、P、Q即可得到符合要求的平行四邊形．
解答：解：（1）如圖，在AD上取一點H，使AH=HD，
在AB上取一點E，使AE=EB，
在BC上取一點F，使BF=FC，
在DC上取一點G，使DG=GC，
連接EH，HG，GF，FE，四邊形HGFE就是所求的四邊形花園所占面積是矩形ABCD面積的一半圖形．

（2）方案一：
作法：①在AD上截取AH=BF，連接HF，
②在AB上任取一點E
③連接HG，GF，EF，EH得到四邊形EFGH，
所以四邊形EFGH就是所要求作的四邊形．
理由：因為ABCD是矩形，HF把矩形ABCD分成矩形ABFH與矩形DHFC，
則S_△FGH=S_矩形DHFC，S_△EHF=S_矩形ABHF，
∴S_{四邊形GHEF}=S_{四邊形ABCD}

方案二：
畫法：①在AD上截取DP=BM，連接MP，
②作MP的垂直平分線，得到MP的中點O，
③作∠PON=∠PMC交CD于點N，反向延長ON，交AB于點Q，連接MN、MP、PQ、QM，得到四邊形MNPQ，
所以四邊形MNPQ就是所要求作的平行四邊形．
理由如下：∵∠PON=∠PMC，
∴QN∥BC，
∵點O是MP的中點，
∴點Q、點N分別是AB、CD的中點，
∴OQ=（BM+AP）=AD，NO=（MC+DP）=BC，
∴OQ=NO，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
因為ABCD是矩形，QN把矩形ABCD分成矩形AQND與矩形BCNQ，
則S_△PQM=S_矩形AQND，S_△EQMN=S_矩形BCNQ，
∴S_{四邊形MNPQ}=S_{四邊形ABCD}．
點評：本題考查了應用與設計作圖，主要利用矩形的面積等于以矩形的一邊為底邊，另一頂點在對邊上的三角形的面積等于矩形的面積的一半的性質分別進行作圖，是一道綜合題，作圖要細心．