Question

將非等腰△ABC的紙片沿DE折疊后，使點A落在BC邊上的點F處．若點D為AB邊的中點，則下列結論：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位線，成立的有    ．

Answer 1

【答案】分析：根據圖形可知△DFE是△ADE對折而成，所以兩三角形全等，可得AD=DF，而D是AB中點，故有BD=DF，那么①可證；再利用∠ADF是△BDF的外角，可證∠DFB=∠EDF，那么DE∥BC，即DE是△ABC的中位線，③得證；利用DE∥BC，以及△DFE和△ADE的對折，可得∠EFC=∠ECF，又由∠DFE=∠A，而∠A不一定等于∠C，即可判定②不一定成立．
解答：解：∵△FDE是△ADE折疊而成，
∴△DFE≌△ADE，
∴AD=DF，
∵點D為AB邊的中點，
∴AD=BD，
∴BD=DF，
即△BDF是等腰三角形；
故①正確；
∵△DFE≌△ADE，
∴∠ADE=∠FDE，
∵∠ADF=2∠FDE=∠B+∠DFB=2∠DFB，
∴∠FDE=∠DFB，
∴DE∥BC，
∵點D也是AB的中點，
∴點E也是AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線；
故③正確；
同①可得△EFC也為等腰三角形，
∴∠C=∠CFE，
∵∠DFE=∠A，
∵∠A與∠C不一定相等，
∴∠DFE=∠CFE不一定成立；
故②錯誤．
故答案為：①③．
點評：此題考查了折疊的性質、等腰三角形的判定與性質以及三角形中位線的判定．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．