Question

（2013•懷柔區二模）如圖，等邊△ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點．設線段MN運動的時間為t秒，四邊形MNQP的面積為S厘米²．則表示S與t的函數關系的圖象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：過點C作CD⊥AB于D，根據等邊三角形的性質可得AD=BD=

1

2

AB，然后分：①點N在AD上時，P、Q都在AC上，利用∠A的正切值表示出PM、QN，然后根據梯形的面積公式列式整理即可得到S與t的函數關系式；②點N在BD上，點M在AD上時，點P在在AC上，點Q在BC上，先表示出AM、BN，再利用∠A、∠B的正切值表示出PM、QN，然后根據梯形的面積公式列式整理即可得到S與t的函數關系式；③點M在BD上時，點P、Q都在BC上，利用∠B的正切值表示出PM、QN，然后根據梯形的面積公式列式整理即可得到S與t的函數關系式．

解答：解：如圖，過點C作CD⊥AB于D，
∵等邊△ABC的邊長為4厘米，
∴AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
①點N在AD上時，0≤t≤1，P、Q都在AC上，
∵MN=1，
∴AM=t，AN=t+1，
∴PM=AM•tan60°=

3

t，QN=AN•tan60°=

3

（t+1）=

3

t+

3

，
S=

1

2

（

3

t+

3

t+

3

）=

3

t+

3

2

；
②點N在BD上，點M在AD上時，1＜t＜2，點P在在AC上，點Q在BC上，
AM=t，BN=4-t-1=3-t，
PM=AM•tan60°=

3

t，QN=BN•tan60°=

3

（3-t）=3

3

-

3

t，
S=

1

2

（

3

t+3

3

-

3

t）=

3 3

2

；
③點M在BD上時，2≤t≤3，點P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=4-t-1=3-t，
PM=BM•tan60°=

3

（4-t）=4

3

-

3

t，QN=BN•tan60°=

3

（3-t）=3

3

-

3

t，
S=

1

2

（4

3

-

3

t+3

3

-

3

t）=-

3

t+

7 3

2

；
綜上所述，四邊形MNQP的面積為S=

3 t+ 3 2 (0≤t≤1) 3 3 2 (1＜t＜2) - 3 t+ 7 3 2 (2≤t≤3)

，
函數圖象為三段線段．
縱觀各選項，只有A選項圖形符合．
故選A．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象，根據點P、Q所在的位置，確定出PM、QN的長度，然后利用梯形的面積公式列式得到S與t的函數關系式是解題的關鍵，也是本題的難點．