Question

關于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有兩個不相等的實數根α、β．
（1）求k的取值范圍；
（2）若α+β+αβ=6，求（α-β）²+3αβ-5的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于關于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有兩個不相等的實數根α、β，那么其判別式應該是一個正數，由此即可求出k的取值范圍；
（2）根據根與系數的關系可以得到α+β=-（2k-3），αβ=k²，而α+β+αβ=6，由此可以求出k的值，再把（α-β）²+3αβ-5變為（α+β）²-αβ-5，代入前面的值就可以求出結果．
解答：解：（1）∵方程x²+（2k-3）x+k²=0有兩個不相等的實數根，
∴△＞0即（2k-3）²-4×1×k²＞0
解得k＜；
（2）由根與系數的關系得：α+β=-（2k-3），αβ=k²．
∵α+β+αβ=6，
∴k²-2k+3-6=0
解得k=3或k=-1，
由（1）可知k=3不合題意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1，
故（α-β）²+3αβ-5=（α+β）²-αβ-5=19．
點評：此題首先利用一元二次方程的判別式求出k的取值范圍，然后利用根與系數的關系求出k的值，接著把所求的代數式變形為兩根之和與兩根之積的形式，代入值就解決問題．