Question

已知關于x的一元二次方程x2-2kx+

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2

k2-2=0，
（1）求證：不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設x₁、x₂是方程的兩個根，且x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5，求k的值．

Answer 1

分析：（1）要保證方程總有兩個不相等的實數根，就必須使△＞0恒成立；
（2）欲求k的值，先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值計算即可．

解答：解：（1）已知關于x的一元二次方程x2-2kx+

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k2-2=0，
∴△=（-2k）²-4×（

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2

k²-2）=2k²+8，
∵2k²+8＞0恒成立，
∴不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數根．

（2）∵x₁、x₂是方程的兩個根，
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=

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2

k²-2，
∴x₁²-2kx₁+2x₁x₂=x₁²-（x₁+x₂）x₁+2x₁x₂=x₁x₂=

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2

k²-2=5，
解得k=±

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．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．