Question

用火柴棒按下圖的方式搭三角形．

（1）填寫下表：

圖形序號數	①	②	③	④	…
小三角形的個數	1	4
所需火柴棒的根數	3	9

（2）根據你的探究，搭第n個圖形需要多少根火柴棒？
（3）當n=100時，需要多少根火柴棒？

Answer 1

分析：觀察圖形，找規律，去掉重復火柴的三角形可以發現，三角形增加的個數以等差數列的形式遞增，運用累加法可以求出第n個圖案的三角形個數，進而求出火柴棒數．

解答：解：（1）結合圖形：第一個為1個三角形，第二個為4個三角形，第三個為9個三角形，第四個為16個三角形，
去掉重復火柴的三角形，可以看成第一個為1個三角形，第二個為3個三角形，第三個為6個三角形，第四個為10個三角形．
如圖：

圖形序號數	①	②	③	④	…
小三角形的個數	1	4	9	16
所需火柴棒的根數	3	9	18	30

（2）由上可以得出規律，第n個圖案比前一個多n個三角形，設第n個有a_n個三角形，則a_n-a_n-1=n，
∴a₂-a₁=2，
a₃-a₂=3，
a₄-a₃=4，
…
a_n-a_n-1=n．
方程前邊加起來得：a_n-a₁=2+3+4+…+n，
∴a_n=1+2+3+4+…+n，
∴a_n=

n(n+1)

2

．
所以有

3n(n+1)

2

根火柴．

（3）當n=100時，需要火柴棒的根數：

3n(n+1)

2

=

3×100×(100+1)

2

=15150根．
故當n=100時，需要15150根火柴棒．

點評：考查了規律型：圖形的變化．注意：①本題是規律性題目，要求具備較高的觀察總結能力，合理利用所學知識求解．
②在做題過程中要合理利用轉換思想，可以簡化求解．