Question

（1999•溫州）如圖，P為⊙O外的一點，過點P作⊙O的兩條割線，分別交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直徑，已知PA=OA=4，AC=CD．
（1）求DC的長；
（2）求cosB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC、AD、OC．先根據“在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等，相等的弦所對的圓周角相等”，得∠CDA=∠CAD，再結合圓周角定理、三角形的外角的性質，可證∠DBA=∠COA，從而有OC∥BD．設CD=x，進而可得CP=2x，根據切割線定理即可求CD；
（2）利用（1）中OC∥BD，根據平行線分線段成比例定理可求BD的長，從而在Rt△ABD中，即可求cosB的值．
解答：解：（1）連接OC、BC、AD，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD，
又∵∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，
∴∠CBD=∠CBA，
∴∠DBA=2∠CBA，
又∵∠COA=2∠CBA，
∴∠DBA=∠COA，
∴OC∥BD，
設CD=x，
∴CP：CD=OP：OB，
∴CP：x=8：4，
∴CP=2x，
∴CP•PD=AP•BP，
∴2x•（2x+x）=4×（4+4+4），
∴x=2，
即CD=2；

（2）∵OC∥BD，
∴OC：BD=OP：OB，
∴4：BD=（4+4）：4，
∴BD=6，
∴在Rt△ABD中，cosB===．
點評：本題利用了等邊對等角、圓周角定理、三角形外角的性質、平行線的判定、平行線分線段成比例定理、切割線定理、三角函數值等知識．