Question

已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C（0，-12）兩點，且對稱軸為直線x=4，設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．
（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線y=-2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P₁MN．在動點M的運動過程中，設△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒．問S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，待定系數法求出a、b和c的值，即可求出拋物線的解析式；
（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形，先求出B點的坐標，設直線BP的解析式為y=kx+m，根據題意求出直線的解析式，設D（x，-2x），則BD²=（-2x）²+（6-x）²，若四邊形OPBD為等腰梯形，則（-2x）²+（6-x）²=32，解出x的值，D點的坐標即可求出；
（3）當0＜t≤2時，用t表示出PH，MH，HN，利用二次函數的性質求出此區間函數的最值；當2＜t＜4時，P₁G=2t-4，P₁H=t，根據三角形相似，求出S_△P1EF=3t²-12t+12，列出S和t的關系式，求出S最大值．
解答：解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意得，
解得，
故拋物線的解析式為y=-x²+8x-12，點P的坐標為（4，4）；

（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形，理由如下：
當y=0時，x²-8x+12=0，
則x₁=2，x₂=6，
則點B的坐標為（6，0），
設直線BP的解析式為y=kx+m，
則，
解得，
則直線BP的解析式為y=-2x+12，
則直線OD∥BP，
∵頂點坐標為P（4，4），
∴OP=4，
設D（x，-2x），則BD²=（-2x）²+（6-x）²，
當BD=OP時，（-2x）²+（6-x）²=32，
解得x₁=，x₂=2，
當x₂=2時，OD=BP=2，四邊形OPBD是平行四邊形，舍去，
當x=時四邊形OPBD為等腰梯形，
故當D（，-）時，四邊形OPBD為等腰梯形；

（3）①當0＜t≤2時，
∵運動速度為每秒個長度單位，運動時間為t秒，則MP=t，
∴PH=t，MH=t，HN=t，
∴MN=t，
∴S=t•t•=t²，
當t=2時，S有最大值=3，

②當2＜t＜4時，P₁G=2t-4，P₁H=t，
∵MN∥OB，
∴△P₁EF∽△P₁MN，
∴=（）²，
∴=（）²，
∴S_△P1EF=3t²-12t+12
∴S=t²-（3t²-12t+12）=-（t-）²+4，
當t=時，S有最大值=4，
因為4＞3，
故S存在最大值，S的最大值為4．
點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，本題涉及的知識點有拋物線解析式的求法，拋物線頂點坐標及對稱軸的求法，第三問需要進行分類討論，此題難度較大．