Question

某人將一條長為56米的竹籬笆分成兩段，并用每段都圍成一塊正方形的菜地．
（1）要想圍成的兩塊正方形的菜地面積之和為100平方米，該怎樣分？
（2）要想圍成的兩塊正方形的菜地面積之和為200平方米，可能嗎？
（3）兩塊正方形的菜地面積之和為最小，該怎樣分？
（4）兩塊正方形的菜地面積之和能否達到90平方米？如能，該怎樣分？如不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設其中一個正方形的邊長為x，那么其周長為4x，
∴另一個正方形的周長為56-4x，
∴其邊長為14-x，
依題意得
x²+（14-x）²=100，
∴2x²-28x+96=0，
∴x=6或8，
∴分成24米和32米的兩段；

（2）不可能，
∵根據已知條件可以正方形的最大面積之和為196，故不可能；

（3）設面積之和為y，
依題意得
y=x²+（14-x）²=2x²-28x+196=2（x-7）²+98，
∴當x=7時y有最小值，∴14-x=7，
∴分成28米和28米的兩段；

（4）不可能，
根據（3）最大正方形面積之和 最小值為98，故不可能．
分析：（1）設其中一個正方形的邊長為x，那么其周長為4x，所以另一個正方形的周長為56-4x，由此可以得到正方形的邊長，然后利用正方形的面積公式可以得到關于x的方程，解方程即可求解；
（2）利用（1）和已知條件即可解決問題；
（3）設面積之和為y，根據（1）可以得到關于x的二次函數，利用二次函數的性質即可求解；
（4）利用（1）的結論和已知條件即可解決問題．
點評：此題主要考查了二次函數的應用及其性質，解題時首先正確理解題意，如果根據分別列出一元二次方程和二次函數，然后解方程或利用二次函數的性質解決問題．