Question

已知：如圖，在等邊三角形ABC中，點D是AC邊上的一個動點（D與A，C不重合），延長AB到E，使BE=CD，連接DE交BC于點F．
（1）求證：DF=EF；
（2）若△ABC的邊長為10，設CD=x，BF=y，求y與x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過D作DM∥AB交BC于M，則△CDM為等邊三角形，得CD=DM，而BE=CD，得到DM=BE，易證得△FDM≌△FEB，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）由（1）得△FDM≌△FEB，得到MF=BF=y，易得CM=CD=x，而BC=10，即有x+y+y=10，即可得到y與x間的函數關系式．

解答：解：（1）證明：過點D作DM∥AE交BC于點M，
∴∠CDM=∠A，∠CMD=∠ABC，
又∵在等邊三角形ABC中，∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠CDM=∠CMD=∠C，
∴△CDM是等邊三角形，
∴CD=DM，
又∵CD=BE，
∴BE=DM，
∵DM∥AE，
∴∠MDF=∠E，
在△DMF和△EBF中，
∠MDF=∠E，
∠DFM=∠EFB，
DM=BE，
∴△DMF≌△EBF（AAS），
∴DF=EF；                                   

（2）由（1）得△DMF≌△EBF，
∴BF=MF=y，
由（1）得△CDM是等邊三角形，
∴CM=CD=x，
又∵CM+MF+FB=BC=10，
∴2y+x=10，
即y=5-

1

2

x（0＜x＜10）．

點評：本題考查了三角形全等的判定與性質．也考查了等邊三角形的性質以及一次函數幾何圖形中的應用．