Question

如圖，在半徑為r的⊙O中，AB為直徑，C為

AB

的中點，D為

CB

的三分之一分點，且

DB

的長等于兩倍的

CD

的長，連接AD并延長交⊙O的切線CE于點E（C為切點），求AE的長．

Answer 1

分析：過E作EH⊥AB于H，連OC，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°，由C為

AB

的中點，則CA=CB且∠CAB=45°，可得到CO⊥AB，根據切線的性質得OC⊥CE，則四邊形OCEH為矩形，于是有EH=OC=r，又由于D為

CB

的三分之一分點，且

DB

的長等于兩倍的

CD

的長，則∠BAD=2∠DAC，可得∠BAD=

2

3

×45°=30°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系即可得到AE的長．

解答：解：過E作EH⊥AB于H，連OC，如圖，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵C為

AB

的中點，
∴CA=CB，∠CAB=45°，
∴CO⊥AB，
∵CE為⊙O的切線，
∴OC⊥CE，
而EH⊥AB，
∴四邊形OCEH為矩形，
∴EH=OC=r，
∵D為

CB

的三分之一分點，且

DB

的長等于兩倍的

CD

的長，
∴∠BAD=2∠DAC，
∴∠BAD=

2

3

×45°=30°，
在Rt△AHE中，∠BAE=30°，∠AHE=90°，
∴AE=2EH=2r．

點評：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角；圓的切線垂直于過切點的半徑；記住含30度的直角三角形三邊的關系．