Question

如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為的中點，DE垂直于AC的延長線于E，連接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列結論一定錯誤的是（ ）

A．DE是⊙O的切線
B．直徑AB長為20cm
C．弦AC長為16cm
D．C為的中點

Answer 1

【答案】分析：AB是圓的直徑，則∠ACB=90°，根據DE垂直于AC的延長線于E，可以證得ED∥BC，則DE⊥OD，即可證得DE是圓的切線，根據切割線定理即可求得AC的長，連接OD，交BC與點F，則四邊形DECF是矩形，根據垂徑定理即可求得半徑．
解答：解：連接OD，OC．
∵D是弧BC的中點，則OD⊥BC，
∴DE是圓的切線．故A正確；
∴DE²=CE•AE
即：36=2AE
∴AE=18，則AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正確；
∵AB是圓的直徑．
∴∠ACB=90°，
∵DE垂直于AC的延長線于E．
D是弧BC的中點，則OD⊥BC，
∴四邊形CFDE是矩形．
∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．
在直角△ABC中，根據勾股定理可得：AB===20cm．故B正確；
在直角△ABC中，AC=16，AB=20，
則∠ABC≠30°，
而D是弧BC的中點．
∴弧AC≠弧CD．
故D錯誤．
故選D．
點評：本題主要考查了垂徑定理，以及切割線定理，利用垂徑定理可以把圓的弦、半徑的計算轉化為解直角三角形．