Question

已知：如圖，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∠BCA的平分線與AB邊的垂直平分線相交于點D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別是E、F．
（1）求證：AE=BF；
（2）求線段DG的長．

Answer 1

分析：（1）根據中垂線、角平分線的性質來證明Rt△AED≌Rt△BFD，然后根據全等三角形的對應邊相等推知AE=BF；
（2）首先根據已知得出AE的長，再利用已知得出DE=CE=7，進而得出DG²=AD²-AG²=25求出即可．

解答：（1）證明：連接AD、BD，
∵AD是∠BCA的平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵DG是AB邊的垂直平分線，
∴AD=DB，
在Rt△AED和Rt△DFB中，

ED=DF AD=DB

，
∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），
∴AE=BF；

（2）由（1）得：CE=CF=

CA+CB

2

=7，∴AE=EC-AC=1，
∵∠ECD=∠EDC=45°，
∴DE=CE=7，
由題意可得：AG=BG=5，
∴AD²=AE²+DE²=50，
∴DG²=AD²-AG²=25，
∴DG=5．

點評：本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質和勾股定理等知識，根據已知得出DE、CE的長是解題關鍵．