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如圖,在△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上任意一點,DE垂直平分AB,垂足為E,且DE=DC.
(1)求∠B的度數;
(2)若CD=3,求AB的長.

【答案】分析:(1)根據角平分線性質得出∠CAD=∠DAB,根據DE垂直平分AB推出DA=DB,求出∠B=∠DAB=∠CAD,得出3∠B=90°,求出即可;
(2)求出DE,根據∠B=30°,求出BD=2DE=6,求出BC,設AC=a,求出AB=2AC=2a,由勾股定理得出(2a)2=a2+92,求出即可.
解答:解:(1)∵∠C=90°,
∴CD⊥AC,
∵DE垂直平分AB,DE=DC,
∴∠CAD=∠DAB,
∵DE垂直平分AB,
∴DA=DB,
∴∠B=∠DAB=∠CAD,
∵∠C=90°,
∴∠B+∠DAB+∠CAD=90°,
∴3∠B=90°,
∴∠B=30°;

(2)∵CD=3,CD=DE,
∴DE=3,
∵∠B=30°,DE⊥AB,
∴DB=2DE=6,
∴BC=3+6=9,
設AC=a,
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AB=2AC=2a,
由勾股定理得:(2a)2=a2+92
a=3
AB=2a=6
點評:本題考查了三角形的內角和定理,直角三角形斜邊上中線,線段垂直平分線性質,角平分線性質,含30度角的直角三角形性質等知識點的綜合運用.
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1
2
B、(
2
2
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C、
1
4
D、
1
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16
cm.

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