Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在已作的圖形中，若l分別交AB、AC及BC的延長線于點D、E、F，連接BE．
求證：EF=2DE．

Answer 1

【答案】分析：∠A=30°易證∠F=30°，因而EF=2EC．
要證EF=2DE，只要證明EC=DE，而根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可得到．
解答：（1）解：直線l即為所求．                             （1分）
分別以AB為圓心，以任意長為半徑，兩圓相交于兩點，連接此兩點即可．
作圖正確．                                           （3分）

（2）證明：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∠ABC=60°．
又∵l為線段AB的垂直平分線，∴EA=EB，（5分）
∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°，
∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°．
又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC．                        （8分）
在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，
∴EF=2EC，∴EF=2ED．                                 （10分）
點評：本題主要考查了直角三角形中有一個角是30度，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．