Question

（2005•海淀區）已知△ABC，分別以AB、BC、CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF．
（1）如圖1，當△ABC是等邊三角形時，請你寫出滿足圖中條件，四個成立的結論；
（2）如圖2，當△ABC中只有∠ACB=60°時，請你證明S_△ABC與S_△ABD的和等于S_△BCE與S_△ACF的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等邊三角形的性質可寫出結論．
（2）要證明以上結論，需創造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．
解答：（1）解：DE=EF，DF=EF，∠D=∠E=∠F，A、B、C分別為DF、DE、EF的中點．

（2）證明：過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，
∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四邊形AMCF是平行四邊形，
又∵FA=FC，
∴四邊形AMCF是菱形，
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，
∵在△BAC與△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM=CA，
再連接AM、DM、EM （輔助線這樣做△AMC就是等邊三角形了，后邊證明更簡便）
易證△AMC為等邊三角形，
在△ABC與△MEC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，
又∵DB=AB，
∴DB=ME，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，
∴∠DBC=∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB與ME平行且相等，故四邊形DBEM是平行四邊形，
∴四邊形DBEM是平行四邊形，
∴S_△BDM+S_△DAM+S_△MAC=S_△BEM+S_△EMC+S_△ACF，
即S_△ABC+S_△ABD=S_△BCE+S_△ACF．
點評：本題主要考查等邊三角形的性質及平行四邊的判定和全等三角形的判定，難度很大，有利于培養同學們鉆研和探索問題的精神．