Question

(2006，大連)如圖，拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于M點，拋物線E關于y軸對稱的拋物線F交x軸于C、D兩點．

(1)求F的解析式；

(2)在x軸上方的拋物線F或E上是否存在一點N，使以A、C、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)若將拋物線E的解析式改為，試探索問題(2)．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解：當y=0時，，解得，， ∴A、B點坐標分別為(－3，0)、(－1，0) 當x=0時，y=3，∴M點坐標為，A、B、M三點關于y軸得對稱點分別是D、C、M，∴D、C點坐標為(3，0)、(1，0) 設F的解析式為； ∴a=1，b=－4 ∴F的解析式為 (2)存在．假設MN∥AC，∴N點的縱坐標為3． 若在拋物線F上，當y=3時，，則， ∴N點坐標為(4，3)，∴MN=4， 由(1)可求AC=4，∴MN=AC，∴四邊形ACNM為平行四邊形． 根據拋物線F和E關于y軸對稱，故N點坐標為(4，3)或(－4，3)； (3)存在．假設MN∥AC，∴N點的縱坐標為c．設y=0， ∴ ∴， ∴A點坐標為，B點坐標為 ∴C點坐標為，∴ 在拋物線E上，y=c時，，， ∴N點坐標為 ，∴NM=AC，∴四邊形ACMN為平行四邊形． 根據拋物線F和E關于y軸對稱，故N點坐標為或．